Скачать реферат в СКАЧАТЬ - Реферат по математике

Математические образы в "Алисе в Стране Чудес" Скачать РЕФЕРАТ →

Введение
Значение математической логики в нашем и прошлом столетии сильно возросло. Главной причиной этого явилось открытие парадоксов теории множеств и необходимость пересмотра противоречивой интуитивной теории мно¬жеств. Было предложено много различных аксиоматических теорий для обоснова¬ния теории множеств, но как бы они не отличались друг от друга своими внешними чертами, общее для всех них содержание состав¬ляют те фунда¬ментальные теоремы, на которые в своей повседневной работе опираются математики. Выбор той или иной из имеющихся тео¬рий является в основном делом вкуса; мы же не предъявляем к системе, которой будем пользоваться, никаких требований, кроме того, чтобы она служила достаточной основой для построения современной математики.

§1. Система аксиом
Опишем теорию первого порядка NBG, которая в основном явля-ется системой того же типа, что и система, предложенная перво¬начально фон Нейманом [1925], [1928], а затем тщательно пере¬смотренная и упрощенная Р. Робинсоном [1937], Бернайсом [1937—1954] и Гёделем [1940]. (Будем в основном следовать монографии Гёделя, хотя и с некоторыми важными от¬клонениями.) Теория NBG имеет единственную предикатную букву и не имеет ни одной функциональной буквы или предметной константы. Чтобы быть ближе к обозначениям Бернайса [1937—1954] и Гёделя [1940], мы бу¬дем употреблять в качестве переменных вместо x1, x2, ... прописные латин¬ские буквы X1, Х2, ... (Как обычно, мы используем буквы X, Y, Z, ... для обо¬значения произвольных переменных.) Мы вве¬дем также сокращенные обо¬значения Х Y для (X, Y) и X Y для (X, Y). Содержательно знак пони¬мается как символ отношения принадлежности.
Следующим образом определим равенство:
Определение. Х=Y служит сокращением для формулы .
Таким образом, два объекта равны тогда и только тогда, когда они со¬стоят из одних и тех же элементов.
Определение. служит сокращением для формулы (включение).
Определение. X Y служит сокращением для Х Y & X ≠ Y (соб-ствен¬ное включение).
Из этих определений легко следует
Предложение 1.
(а) Х = Y (X Y & Y X);
(b) Х = Х;
(с) Х = Y Y = Х;
(d) Х = Y (Y = Z Х = Z);
(е) Х = Y (Z X Z Y).
Теперь приступим к перечислению собственных аксиом теории NBG, перемежая формулировки самих аксиом различными следствиями из них и некоторыми дополнительными определениями. Предварительно, од-нако, отметим, что в той «интерпретации», которая здесь подразумевается, значениями переменных являются классы. Классы — это совокупности, со-ответствующие некоторым, однако отнюдь не всем, свойствам (те свойства, которые фактически определяют классы, будут частично указаны в аксиомах. Эти аксиомы обеспечивают нам существование необхо¬ди¬мых в математике классов и являются, достаточно скром¬ными, чтобы из них нельзя было вы¬вести противоречие). (Эта «ин¬терпретация» столь же неточна, как и понятия «совокупность», «свойство» и т. д.)
Назовем класс множеством, если он является элементом какого-ни-будь класса. Класс, не являющийся множеством, назовем собственным клас¬сом.
Определение. M(X) служит сокращением для Y(X Y) (X есть множе¬ство).
Определение. Pr(X) служит сокращением для M(X) (X есть собствен¬ный класс).
В дальнейшем увидим, что обычные способы вывода парадоксов приводят теперь уже не к противоречию, а всего лишь к результату, состоя¬щему в том, что некоторые классы не являются множествами. Множества предназначены быть теми надежными, удобными классами, которыми мате¬матики пользуются в своей повседневной деятельности; в то время как соб¬ственные классы мыслятся как чудовищно необъят¬ные собрания, которые, если позволить им быть множествами (т. е. быть элементами других классов), порождают противоречия.
Система NBG задумана как теория, трактующая о классах, а не о пред¬метах. Мотивом в пользу этого послужило то обстоятельство, что мате¬матика не нуждается в объектах, не являющихся классами, вроде коров или молекул. Все математические объекты и отношения могут быть выражены в терминах одних только классов. Если же ради приложений в других науках возникает необходимость привлечения «неклассов», то незначительная мо¬дификация системы NBG позволяет при¬ме¬нить ее равным образом как к классам, так и к «неклассам» (Мостовский [1939]).
Мы введем строчные латинские буквы x1, x2, ... в качестве специаль-ных, ограниченных множествами, переменных. Иными словами, x1 A (x1) бу¬дет служить сокращением для X (M(X) A (X)) , что содержательно имеет следующий смысл: «A истинно для всех множества, и x1 A (x1) будет служить сокращением для X (M(X) A (X)), что содержательно имеет смысл: «A истинно для некоторого множества». Заметим, что упот-ребленная в этом определении переменная X должна быть отлич¬ной от пе-ременных, входящих в A (x1). (Как и обычно, буквы х, y, z, ... будут употреб¬ляться для обозначения произвольных переменных для множеств.)
П р и м е р. Выражение Х х y ZA (X, х, y, Z) служит сокра-щением для
Х Xj (М(Xj) Y(M(Y)& ZA (X, Xj, Y, Z))).
А к с и о м а Т. (Аксиома объемности.) Х = Y (X Z Y Z).
Предложение 2. Система NBG является теорией первого порядка с равенством.
А к с и о м а Р. (Аксиома пары.) x y z u (u z u = x u = y), т. е. для любых множеств х и у существует множество z такое, что х и у явля¬ются единственными его элементами.
А к с и о м а N. (Аксиома пустого множества.) х y (у х), т. е. су¬ществует множество, не содержащее никаких элементов.
Из аксиомы N и аксиомы объемности следует, что существует лишь единственное множество, не содержащее никаких элементов, т. е.
1x y (у х). Поэтому мы можем ввести предметную константу 0, подчи¬няв ее следующему условию.
Определение. y (y 0).
Так как выполнено условие единственности для неупорядоченной пары, то можем ввести новую функциональную букву g(х, y) для обозна-чения неупорядоченной пары х и у. Впрочем вместо g(х, y) мы будем писать {х, у}. Заметим, что можно однозначно определить пару {X, Y} для любых двух классов Х и Y, а не только для мно¬жеств х и у. Положим {X, Y} = 0, если один из классов X, Y не яв¬ляется множеством. Можно доказать, что
NBG 1Z((M(X)&M(Y)& u (u Z u = X u = Y))
(( M(X) M(Y))&Z=0)).
Этим оправдано введение пары {X, Y}:
Определение. (М(Х) & М(Y) & u (и {X, Y} u = X u = Y))
(( M(X) M(Y)) & {X, Y} = 0).
Можно до¬казать, что NBG x y u (u {х, у} u = x u = y) и NBG x y (M({х, у})).
Определение. = {{Х}, {X, Y}}. называется упорядоченной па¬рой классов Х и Y.
Никакого внутреннего интуитивного смысла это определение не имеет. Оно является лишь некоторым удобным способом (его предложил Ку-ратовский) определить упорядоченные пары таким образом, чтобы можно было доказать следующее предложение, выражающее характеристическое свойство упорядоченных пар.
Предложение 3.
NBG x y u v ( ).
Доказательство. Пусть = . Это значит, что {{x}, {x, y}} = {{u}, {u, v}}. Так как {х} {{x}, {x, y}}, то {x} {{u}, {u, v}}. Поэтому {x} = ={u} или {х} = {u, v}. В обоих случаях х = и. С другой стороны, {u, v} {{u}, {u, v}} и, следовательно, {u, v} {{x}, {x, y}}. Отсюда {u, v} = {x} или {u, v} = ={x, y}. Подобным же образом {x, y} = {u} или {х, у}={и, v}. Если или {u, v} = ={x} и {х, y} = {u}, то х = и = у = v, в про¬тивном случае {и, v} = {х, у} и, сле¬довательно, {и, v} = {u, у}. Если при этом v ≠ u, то y = v, если же v = u, то тоже y = v. Итак, в любом случае, y = v.
Мы теперь обобщим понятие упорядоченной пары до понятия упо-ря¬доченной n-ки.
Определение
= Х,

Так, например,
и
В дальнейшем индекс NBG в записи NBG опускается.
Нетрудно дока¬зать следующее обобщение предложения 3:

Аксиомы существования классов.
Эти аксиомы утвер¬ждают, что для некоторых свойств, выраженных формулами, сущест¬вуют соответствующие классы всех множеств, обладаю¬щих этими свойствами.
А к с и о м а В1. X u v ( X u v) ( - отношение).
А к с и о м а В2. X Y Z u (u Z u X & u Y)
(пересече-ние).
А к с и о м а В3. X Z u (u Z u X) (допол-нение).
А к с и о м а В4. X Z u (u Z v ( X)) (об-ласть
определе-ния).
А к с и о м а В5. X Z u v ( Z u X).
А к с и о м а В6. X Z u v w ( Z X).
А к с и о м а В7. X Z u v w ( Z X).
С помощью аксиом В2—В4 можно доказать
X Y 1Z u (u Z u X & u Y),
X 1Z u (u Z u x),
X 1Z u (u Z v ( X)).
Эти результаты оправдывают введение новых функциональных букв ∩, −, D.

Определения
u (u X ∩ Y u X & u Y) (пересечение классов Х и Y).
u (u u X) (дополнение к классу X).
u (u D (X) v ( X)) (об¬ласть определения класса X).
(объединение классов Х и Y).
V = (универсальный класс).
X − Y = X ∩

Общая теорема о существовании классов.
Предложение 4. Пусть φ (X1,...,Xn, Y1,..., Ym) – формула, перемен-ные которой берутся лишь из числа X1,...,Xn, Y1,..., Ym . Назовём такую фор¬мулу предикативной, если в ней связными являются только переменные для множеств (т.е. если она может быть приведена к такому виду с помощью принятых сокращений). Для всякой предикативной формулы φ (X1,...,Xn, Y1,..., Ym)
Z x1 ... xn ( Z φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Доказательство. Мы можем ограничиться рассмотрением только та-ких формул φ, которые не содержат подформул вида Yi W, так как всякая та¬кая подформула может быть заменена на x (x = Yi & x W), что в свою оче¬редь эквивалентно формуле x ( z (z x z Yi) & x W). Можно также предполагать, что в φ не содержатся подфор¬мулы вида X X, которые могут быть заменены на u (u = X & u X), последнее же эквивалентно u ( z (z u z X) & u X). Доказа¬тельство проведем теперь индук¬цией по числу k логических связок и кванторов, входящих в формулу φ (за¬писанную с ограниченными пере¬менными для множеств).
1. Пусть k = 0. Формула φ имеет вид xi xj, или xj xi, или xi Yi, где 1 ≤ i < j ≤ n. В первом случае, по аксиоме В1, сущест¬вует некоторый класс W1 такой, что
xi xj ( W1 xi xj).
Во втором случае, по той же аксиоме, существует класс W2 такой, что
xi xj ( W2 xj xi),
и тогда, в силу
X Z u v ( Z X),
существует класс W3 такой, что
xi xj ( W3 xj xi).
Итак, в любом из первых двух случаев существует класс W3 такой, что
xi xj ( W φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Тогда, заменив в
X Z v1... vk u w ( Z X)
X на W, получим, что существует некоторый класс Z1 такой, что
x1... xi-1 xi xj ( Z1 φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Далее, на основании
X Z v1... vm x1... xn (
Z X)
там же при Z1 = X, заключаем, что существует класс Z2 такой, что
x1 ... xi xi+1 ... xj ( Z2 φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Наконец, применяя

X Z v1... vm x1... xn ( Z X)
(1)
там же при Z2 = Х, получаем, что существует класс Z такой, что
x1... xn ( Z φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Для остающегося случая xi Yi теорема следует из (1) и
X Z x v1... vm ( Z x X).
2. Предположим, что теорема доказана для любого k < s и что φ со-держит s логических связок и кванторов.
(a) φ есть ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1... xn ( W ψ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Теперь остается положить Z = .
(b) φ есть ψ θ. По индуктивному предположению, существуют классы Z1 и Z2 такие, что
x1... xn ( Z1 ψ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)) и
x1... xn ( Z2 θ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Искомым классом Z в этом случае будет класс .
(c) φ есть x ψ. По индуктивному предположению, существует класс W такой, что
x1... xn x ( W ψ (x1,..., xn, x, Y1,..., Ym)).
Применим сперва
X Z x1 ... xn ( Z y ( X)).
при X = и получим класс Z1 такой, что
x1 ... xn ( Z1 x ψ (x1,..., xn, x, Y1,..., Ym)).
Теперь положим окончательно Z = , замечая, что x ψ эквивалентно
x ψ.
Примеры. 1. Пусть φ (X, Y1, Y2) есть формула u v (X = & u Y1 & v Y2). Здесь кванторы связывают только перемен¬ные для множеств. Поэтому, в силу теоремы о существовании классов, Z x (x Z u v (x = & u Y1 & v Y2)), а на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z u v (x = & u Y1 & v Y2)). Поэтому возможно следующее определение, вводящее новую функциональную букву :
Определение. x (x Y1 Y2 u v (x = & u Y1 & v Y2)). (Декартово произведение классов Y1 и Y2).
Определения.
X2 обозначает X X (в частности, V2 обозначает класс всех упо-рядоченных пар).
...............................................................................................................
Xn обозначает Xn-1 X (в частности, Vn обозначает класс всех упо-рядоченных n-ок).
Rel(X) служит сокращением для Х V2 (X есть отношение).
2. Пусть φ (X, Y) обозначает Х Y. По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, 1Z x (x Z x Y). Таким образом, существует класс Z, элементами которого являются все подмножества класса Y.
Определение. x (x P (Y) x Y). (P (Y): класс всех под¬множеств класса Y.)
3. Рассмотрим в качестве φ (X, Y) формулу v (X v & v Y).
По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объем¬ности, 1Z x (x Z v (x v & v Y)), т.е. существует един-ственный класс Z, элементами которого являются все элементы элемен¬тов класса Y и только они.
Определение. x (x (Y) v (x v & v Y)). ( (Y): объединение всех элементов класса Y)
4. Пусть φ (X) есть u (X = ). По теореме о существовании классов и на основании аксиомы объемности, существует единственный класс Z такой, что x (x Z u (x = )).
Определение. x (x I u (x = )). (Отношение тож¬дества.)
Следствие. Для всякой предикативной формулы φ (X1,...,Xn, Y1,... ..., Ym)
1W( W Vn & x1... xn ( W
φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)).
Доказательство. В силу предложения 4, существует класс Z, для которого x1... xn ( Z φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)). Очевидно, искомым классом W является класс W = Z ∩ Vn; его един¬ственность вытекает из аксиомы объемности.
Определение. Для всякой предикативной формулы φ (X1,...,Xn, Y1,... ..., Ym) через φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)) обозначается класс всех n-ок , удовлетворяющих формуле φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)), т. е. u (u φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym) x1... xn (u = & φ (x1,...,xn, Y1,... ..., Ym))). Следствие оправдывает такое определение. В частности, при n = 1 получим u (u φ (x, Y1, ..., Ym) φ (u, Y1,..., Ym)) (иногда вместо φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym) применяют запись { | φ (x1,...,xn, Y1,..., Ym)}).
Примеры. 1. Пусть φ есть Y. Обозначим ( Y) сокращенно через , тогда V2 & x1 x2( Y Y). Назовем обратным отношением класса Y.
2. Пусть φ есть v ( Y). Обозначим через R(Y) выражение ( v ( Y)). Тогда u (u R(Y) v ( Y)). Класс R(Y) называется областью значений класса Y. Очевидно, R(Y) = D( ).
Заметим, что аксиомы В1 — В7 являются частными случаями теоремы о существовании классов, т. е. предложения 4. Иными словами, вместо того, чтобы выдвигать предложение 4 в качестве схемы аксиом, можно с тем же результатом ограничиться лишь некоторым конечным числом его частных случаев. Вместе с тем, хотя предложение 4 и позволяет доказывать существование большого числа самых разнообразных клас¬сов, нам, однако, ничего еще не известно о существовании каких-либо множеств, кроме самых простых множеств таких, как 0, {0}, {0, {0}}, {{0}} и т. д. Чтобы обеспечить существование множеств более сложной структуры, введем дальнейшие аксиомы.
А к с и о м а U. (Аксиома объединения.)
x y u (u y v (u v & v x)).
Эта аксиома утверждает, что объединение (х) всех элементов мно¬жества х является также множеством, т. е. x (M( (х))). Множество и (х) обозначают также через и v.
Средством порождения новых множеств из уже имеющихся является образование множества всех подмножеств данного множества.
А к с и о м а W. (Аксиома множества всех подмножеств.)
x y u (u y u x).
Эта аксиома утверждает, что класс всех подмножеств множества х есть также множество; его будем назы¬вать множеством всех подмножеств множества х. В силу этой аксиомы, x (M(P (х))).
Примеры.
P (0) = {0}.
P ({0}) = {0, {0}}.
P ({0, {0}}) = {0, {0}, {0, {0}}, {{0}}}.
Значительно более общим средством построения новых множеств является следующая ак¬сиома выделения.
А к с и о м а S.
x Y z u (u z u x & u Y).
Таким образом, для любого множества х и для любого класса Y су-ществует множество, со¬стоящее из элементов, общих для х и Y. Следо-вательно, x Y (M (x ∩ Y)), т. е. пересече¬ние множества с классом есть множество.
Предложение 5. x Y (Y x M (Y)) (т. е. подкласс множе-ства есть множество).
Доказательство. x (Y x Y ∩ x = Y) и x (M (Y ∩ x)).
Так как всякая предикативная формула A(у) порождает соответ¬ст-вующий класс (предло¬жение 4), то из аксиомы S следует, что для любого множества х класс всех его элементов, удовлетворяющих дан¬ной предика-тивной формуле A(у), есть множество.
Однако для полного развития теории множеств потребуется ак-сиома, более сильная, чем аксиома S. Введем предварительно несколько оп¬ределений.
Определения
Un (X) означает x y z ( X & X y = z).
(X однозначен.)
Fnc (X) означает X V2 & Un (X). (X есть функция.)
Y 1 X означает X ∩ (Y V). (Огра¬ничение Х областью Y.)
Un1 (X) означает Un (X) & Un ( ). (X взаимно однозначен.)
X'Y
Если существует единственное z такое, что X, то z = X'y; в про¬тивном случае X'y = 0. Если Х есть функция, а у — множество из области определения X, то X'y есть значе¬ние этой функции, примененной к у (В дальнейшем будем по мере необходимости вводить новые функ-циональные буквы и предметные константы, как только будет ясно, что соот¬ветствующее определение может быть обосновано теоремой о единственности. В настоящем случае происходит введение неко¬торой новой функциональной буквы h с сокращенным обозначением Х'Y вместо h (X, Y)).
X''Y = R(Y 1 X). (Если Х есть функция, то X''Y есть об¬ласть значений класса X, ограниченного областью Y.)
А к с и о м а R. (Аксиома замещения.)
x (Un (X) y u (u y v ( X & v X))).
Аксиома замещения утверждает, что если класс Х однозначен, то класс вторых компонент тех пар из X, первые компоненты которых принадлежать, является множеством (эквивалент¬ное утверждение: M(R (x 1X))) Из этой аксиомы следует, что если Х есть функция, то об¬ласть значений результата ограничения Х посредством всякой области, являющейся множест¬вом, также есть множество.
Скачать СЛЕДУЮЩИЙ реферат аксиома обеспечивает существование бесконечных мно-жеств.
А к с и о м а I. (Аксиома бесконечности.)
x (0 x & u (u x u {u} x)).
Аксиома бесконечности утверждает, что существует такое множество х, что 0 x, и если и x, то и {и} также принадлежит х. Для такого множества х, очевидно, {0} x, {0, {0}} x, {0, {0}, {0, {0}}} x и т. д. Если теперь положим 1 = {0}, 2 = {0, 1}, ... , n = {0, 1, ... , n – 1}, то для любого целого п ≥ 0 будет выполнено п х, и при этом 0 ≠ 1, 0 ≠ 2, 1 ≠ 2, 0 ≠ 3, 1 ≠ ≠ 3, 2 ≠ 3, ...
Список аксиом теории NBG завершен. Видно, что NBG имеет лишь конечное число аксиом, а именно: аксиому Т (объемности), акси¬ому Р (пары), аксиому N (пустого множества), аксиому S (выделения), аксиому U (объединения), аксиому W (множества всех подмножеств), аксиому R (замещения), аксиому I (бесконечности) и семь аксиом суще¬ствования классов В1—В7.
Убедимся теперь в том, что парадокс Рассела невыводим в NBG. Пусть Y = (x x) ,т. е. х (х Y х х). (Такой класс Y суще¬ствует, в силу теоремы о существовании классов (предложение 4), так как формула х х предикативна.) В первоначальной, т. е. не сокра¬щенной, символике эта последняя формула записывается так: X (M(X) (X Y X X)). Допустим M(Y). Тогда Y Y Y Y, что, в силу тавтологии (A A) A & & A, влечет Y Y Y Y. Отсюда по теореме дедукции получаем M(Y) (Y Y Y Y), а затем, в силу тавтологии (B (A & A)) B , получаем и М(Y). Таким образом, рассуждения, с помощью которых обычно выводится парадокс Рассела, в теории NBG приводят всего лишь к тому результату, что Y есть собственный класс, т. е. не множество. Здесь имеем дело с типичным для теории NBG способом избавления от обычных пара¬доксов (например, парадоксов Кантора и Бурали-Форти).

Определения
X Irr Y означает y (y Y X) & Rel (X).
(X есть иррефлексивное отношение на Y.)
X Tr Y означает Rel (X) & u v w (u Y & v Y & w Y &
& X & X & X X).
(X есть транзитивное отношение на Y.)
X Part Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y).
(X частично упорядочивает Y.)
X Con Y означает Rel(X) & u v (u Y & v Y & u ≠ v
X X).
X Tot Y означает (X Irr Y) & (X Tr Y) & (X Con Y).
(X упорядочивает Y.)
X We Y служит обозначением для Rel(X) & (X Irr Y) & Z (Z Y &
& Z ≠ 0 y (y Z & v (v Z & v ≠ y X &
& X))).
(X вполне упорядочивает Y, т. е. отношение Х иррефлексивно на Y, и всякий непустой подкласс класса Y имеет наименьший в смысле отношения Х элемент.)

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна.
Аксиома выбора является одним из самых знаменитых и наиболее оспариваемых утверждений теории множеств.
Следующие формулы эквивалентны:
А к с и о м а в ы б о р а (АС): Для любого множества х существует функция f такая, что для всякого непустого подмножества у множества х f' y y (такая функция называется в ы б и р а ю щ е й ф у н к ц и е й для х).
М у л ь т и п л и к а т и в н а я а к с и о м а (Mult): Для любого мно-жества х непустых и попарно непересекающихся множеств, сущест¬вует множество у (называемое в ы б и р а ю щ и м м н о ж е с т в о м для х), которое содержит в точности по одному элементу из каждого множества, являющегося элементом х.
u (u x u ≠ 0 & v (v x & v ≠ u v ∩ u = 0))
y u (u x 1w (w u ∩ y)).
П р и н ц и п в п о л н е у п о р я д о ч е н и я (W. O.): Всякое мно-жество может быть вполне упорядочено. x y (y We x).
Т р и х о т о м и я (Trich): x y (x y y x).
Л е м м а Ц о р н а (Zorn): Если в частично упорядоченном мно-жестве х всякая цепь (т. е. всякое упорядоченное подмножество) имеет верхнюю грань, то в х существует максимальный элемент.
x y ((y Part x) & u (u x & y Tot u v (v x & w (w u w =
= v y))) v (v x & w (w x y))).
Доказательство.
1. (W. O.) Trich. Пусть даны множества х и у. Согласно (W. O.), х и у могут быть вполне упорядочены. Поэтому существуют такие порядковые числа α и β, что х α и y β. Но так как α β или β α, то либо x y, либо y x.
2. Trich (W. O.). Пусть дано множество х. Согласно теореме Хартогса, существует такое порядковое число α, которое не равномощно никакому подмножеству множества х. Тогда, в силу Trich, х равномощно некоторому подмножеству у порядкового числа α, и вполне упо¬рядочение Еу множества у порождает некоторое вполне упорядочение множества х.
3. (W. O.) Mult. Пусть х есть некоторое множество непустых, попарно непересекающихся множеств. Согласно (W. O.), существует отношение R, вполне упорядочивающее множество (х). Следовательно, существует такая определенная на х функция f, что f'u для любого и х есть наименьший относительно R элемент и. (Заметим, что и (х).)
4. Mult AC. Для любого множества х существует функция g такая, что если и есть непустое подмножество х, то g'и = u {и}. Пусть х1 —область значении функции g. Легко видеть, что х1 является множеством непустых попарно непересекающихся множеств. На основа¬нии Mult, для х1 существует выбирающее множество у. Отсюда, если 0 ≠ u и u х, то и {и} х1 и у содержит и притом единственный элемент из и {и}. Функция f' u = v является искомой выбираю¬щей функцией для х.
5. АС Zorn. Пусть у частично упорядочивает непустое мно-жество х таким образом, что всякая y-цепь в х имеет в х верхнюю грань. На основании АС, для х существует выбирающая функция f. Рассмотрим произвольный элемент b множества х, и по трансфинитной индукции определим функцию F такую, чтобы выпол¬нялось F'0 = b и F'α = f'u для любого α, где u есть множество всех таких верхних граней v множества F'' α относительно упорядочения у, что v х и v F'' α. Пусть β есть наименьшее порядковое число, которому соответствует пустое множество верхних граней v мно¬жества F'' β относительно упорядочения v, принадлежащих x и не при¬надлежащих F'' β. (Порядковые числа, обладающие таким свойством, существуют; в противном случае функция F была бы взаимно однознач¬ной с областью определения Оп и с некоторым подмножеством мно¬жества х в качестве области значений, откуда по аксио-ме замещения R следовало бы, что Оп есть множество.) Пусть g = β 1 F. Функция g взаимно однозначна и что если α <0 γ <0 β, то g'α, g'γ y. Поэтому множество g'' β является y-цепью в x. Согласно условию, и x существует верхняя грань w множества g'' β. Так как множество верхних граней множества F'' β (= g'' β), не содержащихся в g'' β, пусто, то w g'' β, и, следовательно, w является единственной верхней гранью мно-жества g'' β (ибо всякое множество может содер¬жать в себе не более одной своей верхней грани). Отсюда следует, что w есть максимальный относительно упорядочения y элемент множества х. (Действительно, если y и z х, то z должно быть верхней гранью g'' β, что невозможно.)
6. Zorn (W. O.). Пусть z есть множество, а X есть класс всех взаимно однозначных функций f таких, что D(f) Оп и R(f) z. Из теоремы Хартогса следует, что X есть множество. Очевидно также, что 0 X. Отношение частично упорядочивает X. Каковы бы ни были две функции, принадлежащие одной и той же цени в X, одна из них является продолжением другой. Поэтому для любой цепи в Х объеди¬нение всех принадлежащих ей функций есть снова взаимно однозначная функция, принадлежащая той же цепи. Следовательно, на основании Zorn, в X имеется максимальный элемент g, представляющий собой взаимно однозначную функцию, определенную на некотором порядковом числе я и принимающую значения из z. Допустим, что z - g'' α ≠ 0. Пусть b z - g'' α, и положим f = g { }. Тогда f X и g f, что противоречит максимальности g. Следовательно, g'' α = z, т. е. α z. Посредством функции g отношение Еα, вполне упорядочи¬вающее множество α, преобразуется в некоторое отношение, вполне упорядочивающее z.

Заключение
Система аксиом теории множеств была создана для решения задачи обоснования базовых положений современной математики. Таким образом существующие разделы математики можно считать a priori непротиворечивыми, поскольку все их доказанные высказывания логически могут быть сведены к аксиомам. В этом отношении аксиоматика выполнила свое предназначение.

Список литературы
1. Мендельсон Э. Введение в математическую логику. – М.: Наука, 1984.
2. Ляпин Е. С. Полугруппы. – М.: Физматгиз, 1960.
3. Стол Роберт Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. Пер. с англ. Ю.А. Гастаева и И.Х. Шмаина. Под ред. Ю.А. Шихановича. М.: «Просвещение», 1968.

Содержание
стр.
Введение.....................................................................................3

 

§1. Система аксиом..........................................................................4
1. Аксиома объемности.........................................................6
2. Аксиома пары..................................................................6
3. Аксиома пустого множества................................................6
4. Аксиомы существования классов..........................................8
5. Аксиома объединения.......................................................14
6. Аксиома множества всех подмножеств.................................14
7. Ак¬сиома выделения..........................................................15
8. Аксиома замещения.........................................................16
9. Аксиома бесконечности.....................................................16

§2. Аксиома выбора. Лемма Цорна....................................................19

Заключение.................................................................................22
Список литературы........................................................................23

СКАЧАТЬ РЕФЕРАТ

Скачать СЛЕДУЮЩИЙ реферат >